Beispiele gibt es viele in der Natur:

• Wasser geht sprunghaft vom flüssigen in den gasförmigen Zustand über
• Eine Lawine reisst sich los
• Ein Blitz durchzuckt die Nacht in einer Zickzacklinie

Allen Systemen liegt ein Konstruktionsprinzip zugrunde, welches durch bestimmte Informationen beeinflusst wird und durch Informationen von Informationen (= Rückkopplung) sich selber wieder beeinflusst.

In komplexen Systemen können wir keinen Anfang bestimmen. Der Anfangswert ist unbekannt. Doch laufend werden diese komplexen Systeme beeinflusst, wir sprechen von Randbedingungen.
Durch die Rückkopplung ist es im allgemeinen nicht mehr möglich, die Auswirkungen von Randbedingungen vorauszusagen. Eine Eigenschaft des Deterministischen Chaos ist, dass bei kleinsten Änderungen der Randbedingungen das System völlig ausser Rand und Band geraten kann (aber nicht muss).
Ausgehend von der Thermodynamik ist das Beispiel des Schmetterlingsschlages sehr populär geworden: Ein Schmetterlingsschlag in Asien (als Änderung der Randbedingung) kann durch die Rückkopplungen einen Hurrikan in Hawaii verursachen. 

Dieses Beispiel macht uns die Grössenordnung der Veränderungen und ihre möglichen Auswirkungen deutlich. Es wird klar, dass wir schlussendlich keinen Einfluss, und schon gar keinen voraussagbaren Einfluss im allgemeinen, auf Systeme haben. Diese Systeme sind selbstorganisierend und für uns nicht überschaubar.

Im Folgenden ein knapper Abriss der Chaostheorie:

Selbstähnlichkeit

Im Bereich des Deterministischen Chaos werden Grössenordnungen unwichtig. Bestimmte Phänomene sind in jedem Vergrösserungs-Ausschnitt wieder erkenntlich, es stellt sich eine Selbstähnlichkeit ein. Der Begriff dazu heisst Fraktalität (nach Benoit Mandelbrot, von ihm stammt auch das inzwischen wohl überall bekannte Apfelmännchen).

Diese Wiederholung von Strukturen ("Strukturen in Strukturen in Strukturen") können wir fast überall beobachten, Beispiele dazu:

• Küstenlinien: Die Formen einer Küstenlinie wiederholen sich bei kleineren Ausschnitten wieder ähnlich. Diese Ähnlichkeiten, die Fraktalität, ist ein zentrales Phänomen der Chaostheorie. 
• Chaosbild "Spiralen":    
• MindMapping: Es ergeben sich selbstähnliche Strukturen, weil jedes Stichwort wieder als neues Zentrum von einem detaillierteren MindMap übernommen werden kann. Die MindMaps werden sich bildlich ähneln, das ganze Gebilde wird eine umfassende Denklanschaft repräsentieren.

  Natürlich wäre ein solcher Prozess nie abgeschlossen, genauso wie jede Küstenlinie im Grunde genommen unendlich ist, wie auch die Chaosbilder rein theoretisch kein Ende nehmen.

Energielandschaft

Wenn wir uns eine Landkarte aller möglichen Energie-Zustände vorstellen, so ergibt sich eine Landschaft mit Bergen und Tälern. Die Höhenmeter dieser Landschaft repräsentieren die Intensität des Zustandes.

Führen wir das Gedankenexperiment noch weiter und repräsentieren ein betroffenes System als Kugel in dieser Landschaft, so können wir nicht voraussagen, in welchem Tal die Kugel zur (vorübergehenden) Ruhe kommt.

Attraktoren, Repulsoren

Die oben beschriebene Landschaft besteht aus sogenannten Attraktoren (Täler, Energiesenke) und Repulsoren (Berge, Energiekuppe). Jedes System, jedes Individuum bewegt sich auf komplexen Wegen in einer solchen Landschaft, verweilt an bestimmten Punkten (Attraktoren) und wird ab und zu auch wieder aus der Bahn geworfen.

Energie

Das deterministische Chaos setzt Energieänderungen voraus. Jeder Prozess ändert seinen Kurs nur, wenn Energie zu- oder abgeführt wird. Als einfachstes Beispiel können wir das Pendel nehmen, welches seine Bahn aufnimmt (den Attraktor verlässt), indem es durch eine Bewegung (Bewegungsenergie) in Schwingung versetzt wird. Ohne zusätzliche Energiezufuhr wird die Erdanziehung (Gravitationsenergie) das Pendel in seinen Attraktor, den Ruhezustand, zurückführen.

Fraktale

Auf dem Computer können Chaosbilder, besser Fraktale, einfach und eindrücklich visualisiert werden. Die Berechnungsformeln sind jeweils recht einfach (siehe auch weiter unten). Im wesentlichen nehmen die Algorithmen das Ergebnis einer Berechnung als Ausgangswert für eine neue Berechnung. Eine einzelne Berechnung ist eine Iteration. Durch eine endliche Anzahl von Iterationen ergibt sich entweder ein unendlich grosser Wert oder es wird ein bestimmter, endlicher Wert erreicht. Durch die Zuordnung des endlichen Wertes respektive eines Wertebereichs zu einer bestimmten Farbe ergeben sich dann interessante Bilder.
Diese rein mathematisch berechneten Bilder erinnern uns vielfach an natürliche Formen. Dies ist ein Indiz mehr, dass sich die Natur nach diesen einfachen Gesetzen entwickelt.

Beispiel einer Berechnungsformel

Die Darstellung des Apfelmännchens ist das Ergebnis der Gleichung

z_n+1=z_n²+c

wobei z und c komplexen Zahlen entsprechen.

Zur Berechnung des Apfelmännchens wird nun bestimmt, ob für ein bestimmtes c der Endwert der Berechnungsreihe im Endlichen bleibt oder gegen Unendlich strebt. Ein c gehört genau dann zur Mandelbrot-Menge (=Apfelmännchen in der komplexen Zahlenebene), wenn mit dem Startwert z0=0 der Endwert im Endlichen bleibt.

Zur Berechnung der Juliamenge wird bei der gleichen Formel im Gegensatz zum Apfelmännchen der Wert c konstant gehalten und der Berechnungswert mit verschiedenen Startwerten z0 bestimmt. Es entsteht eine geschlossene Fläche, wenn zur Berechnung der Juliamenge ein c-Wert der Mandelbrot-Menge genommen wird. Das heisst, die Fläche des Apfelmännchens ist ein "Katalog" für unendlich viele Juliamengen.